ピタゴラスと三平方の定理【湯川校／清水町】｜スタッフブログ｜個別指導学院ヒーローズ｜静岡市

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ピタゴラスと三平方の定理【湯川校／清水町】

投稿日：2019.07.05

ピタゴラスと三平方の定理について取り上げてみたいと思います。

　ピタゴラスの業績で最も有名な定理と言えば「ピタゴラスの定理」または「三平方の定理」があります。中学で学習する内容の面積に関する定理です。

　直角三角形の底辺の2乗と高さの2乗の合計が、斜辺の2乗に等しいという定理です。すなわち、直角をはさむ二辺の長さをそれぞれa、ｂ、斜辺の長さをｃとすれば

　　　　　　　　　a^２　+ 　b² 　=　C^２　

となります。直角三角形の底辺の2乗と高さの2乗の合計が、斜辺の2乗に等しいという内容です。中三で学習する内容ですが、応用方法はたくさんあります。

　例えば、直角三角形の斜辺の長さを求めたいのであれば、底辺と高さの二乗和の平方根をとればよいのです。2つの長さが分かれば、もう1つの長さがわかる定理です。

　　　　　　　　　　　　 $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

　他にもa,bをもとめたいのであれば、

　　　　　　　　 $a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}={\sqrt {(c+b)(c-b)}}$

　　　　　　　　 $b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}={\sqrt {(c+a)(c-a)}}$

ピタゴラスのテキスト

　ピタゴラスの定理と言われているのは、紀元前300年ころにユークリッド(エウクレイデス)によって著された数学の古典で，『ユークリッドの原論』※ と訳される本に「三平方の定理」が掲載されているからです。

『ユークリッドの原論』第1巻の命題47は「三平方の定理」(これが「ピタゴラスの定理」)です。命題48はその逆定理です。

※『エウクレイデス全集【全5巻】』斎藤憲・三浦伸夫／訳　東京大学出版会

　古代ギリシャの数学者、エウクレイデス(英語名:ユークリッド)の、本邦初訳を含む全集の第1巻。第1巻では、ピュタゴラスの定理などの命題が入った『原論』I-VIを収録。『原論』は全13巻からなり(XIV、XV巻は後の数学者が付加したとされる)、その成立はおおむね紀元前300年頃と考えられている。約15万語の本文と多数の図版からなる、当時の数学の論証数学の基礎的知識を集大成した書物である。※東京大学出版会HPより転載。

次に、三平方の定理の証明についてです。

証明のやり方ご紹介します。

①大きな正方形の中に内接する小さな正方形を作ります。

②大きな正方形の面積を求めます。

③内接する小さな正方形の面積と、直角三角形の面積を求め合計します。

・大きな正方形の面積の求め方

大きな正方形の面積　=　(小さな正方形の面積)+(直角三角形の面積　× 4)

大きな正方形の面積は $(a + b) 2$ ,

小さな正方形の面積は $c 2$ ,

直角三角形4個の面積の合計は